Eksamensopgaver

Opgave 7.1

Opgaven besvares med angivelse af de anvendte talværdier ( $a$ og $c$ ), gengivelse af de opnåede plots samt kopi af de udarbejdede python-kommandoer.

I opgaven arbejdes med parabler,

$f_{a,c}: f_{a,c}(x)=ax^2+c$

hvor $a<0$ og $c>0$ .

a) Skriv en funktion, der tager to argumenter, $a$ og $c$ , og returnerer $N=100$ punkter $(x,y)$ , der ligger jævnt fordelt på den del af $f_{a,c}$ , der ligger over $x$ -aksen.

Vælg selv to sæt af værdier for $a$ og $c$ og kald din funktion to gange. Benyt de returnerede punkter til at danne et plot i stil med:

Figure 1

b) Beregn med fsolve skæringspunkterne mellem dine to parabler og markér disse i plottet:

Figure 2

Opgave 7.2

Opgaven besvares med angivelse af de beregnede talværdier og kopi af de udarbejdede python-kommandoer.

I opgaven arbejdes med kurven:

$(x,y): y = A\cos(x)$

hvor $-\pi/2<x<\pi/2$ .

Figure 3

a) Beregn med python-kommandoer længden af kurven når $A=1$ .

b) Bestem med python-kommandoer $A$ således at længden af kurven bliver 5.

Opgave 7.3

Opgaven besvares med gengivelse af det opnåede plot samt kopi af de benyttede python-kommandoer.

Enhedscirklen (cirklen med centrum i $(0,0)$ og radius $1$ ) og en parabel med toppunkt i $(0,-\frac{1}{4})$ skærer hinanden i punkterne $(\pm\sqrt{\frac{3}{4}},\frac{1}{2})$ . Den præcise formel for parablen udledes analytisk (dvs. skal ikke løses med python-kommandoer).

a) Skriv python-kommandoer så nedenstående figur fremkommer. Indfør variabler, funktioner og loops i et fornuftigt omfang så du undgår for megen gentagelse af ens udseende kode.

Figure 4

Opgave 7.4

Opgaven besvares med gengivelse af det opnåede plot samt kopi af de benyttede python-kommandoer.

I opgaven arbejdes med differentialligningen:

$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2}(x-2)y$

som opfylder $(x,y)=(2,1)$ .

a) Løs med solve_ivp differentialligningen for såvel $x>2$ som for $x<2$ . Plot løsningerne sammen.

Figure 5