Analyse-opgaver

Opgave 2.1

Plot funktionen,

$f(x)=x^3+x^2-10x+8.$

i en figur hvor du markerer $y=0$ med en farvet linie. Bestem alle tre nulpunkter for funktionen. Afsæt endvidere de fundne nulpunkter.

Opgave 2.2

Find en løsning til:

$4\sqrt{x}=4x^2-25+2\sqrt{10}$

Opgave 2.3

Plot funktionen,

$f(x)=x^3-6x^2-x+30.$

Bestem det lokale minimum og det lokale maksimum.

Hint: For at finde et lokalt maksimum for $f(x)$ kan du lede efter et lokalt minimum for funktionen, $g(x) = -f(x)$ .

Opgave 2.4

En funktion er givet ved:

$\tag{Eq: 1} f(x) = x^6 - 25x^5 + 195x^4 - 347x^3 - 1564x^2 + 4908x - 3168$

a) Plot funktionen i et passende interval

Figure 1

b) Bestem alle lokale minima for funktionen ved at anvende fmin et antal gange på funktionen.

Opgave 2.5

a) Plot i intervallet, $-\frac{5}{2}\le x\le\frac{5}{2}$ , funktionen:

$f(x)=\mathrm{e}^{-x/3}\cos(x^2)$

b) Bestem $x$ -værdien, $x_0$ , i intervallet, $-\frac{5}{2}\le x\le\frac{5}{2}$ , for hvilken funktionen antager værdien $\frac{3}{2}$ . Plot $(x_0,\frac{3}{2})$ og konstatér at punktet ligger på kurven.

c) Bestem $x$ -værdien, $x_1$ , i samme interval, hvor funktionen har sit minimum, $y_{min}$ . Plot $(x,y_{min})$ og konstatér at punktet ligger rigtigt.

Opgave 2.6

a) Plot i intervallet, $-2\le x\le 2$ , funktionerne

$f_1(x)=\sin(\frac{x}{2}) \quad \mathrm{og} \quad f_2(x)=\mathrm{e}^{-x/3}\cos(x^2)$

b) Bestem med fmin $x$ -værdien $x_0$ , i intervallet, $-2\le x\le 2$ , hvor funktionerne har mest forskellige værdier.

c) Plot en lodret linie, der forbinder funktionerne ved $x_0$ .

d) Beregn længden, $d$ , af den lodrette linie.

Opgave 2.7

Beregn:

$56\int_0^{\pi/4}\bigl[2\sqrt{2}\cos(\theta)-\frac{5}{\pi}\bigr]d\theta$

Hint: Læs om integration her.

Opgave 2.8

En funktion, $f$ , er givet ved:

$f(x)=2x^{1/3}.$

Bestem med quad arealet under kurven $\left(x,f(x)\right)$ for $0\le x\le 12.1722$ .

Figure 2

Lav ovenstående plot. Hint: Læs mere om de nødvendige kommandoer i how to draw general shapes og how to curves afsnittene samt i Matplotlib kapitlet,

Opgave 2.9

a) Beregn

$\frac{8}{\ln 2}\int_0^{\pi/4}\ln\bigl(1+\tan x\bigr)dx$

b) Beregn

$\int_0^2\sqrt{4-x^2}dx$

c) Beregn

$\int_0^a\frac{2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx$

for $a=\pi$ og $a=5$ .

d) Beregn

$\frac{7}{3}\int_0^{8}x^3\mathrm{e}^{-x^2/6}dx \qquad\mathrm{og}\qquad \frac{7}{3}\int_0^{16}x^3\mathrm{e}^{-x^2/6}dx$

e) Beregn

$\int_0^{2}\frac{3\sin^4x}{x^4}dx \qquad\mathrm{og}\qquad \int_0^{20}\frac{3\sin^4x}{x^4}dx$

Opgave 2.10

En kurve er givet ved parameterfremstillingen:

$\begin{array}{lcl} x(\theta)&=&\displaystyle\frac{\theta}{5}\cos\theta\\\\ y(\theta)&=&\displaystyle\frac{\theta}{5}\sin\theta \end{array}$

Beregn længden af kurven for $0\le\theta\le 20.391$ .

Figure 3

Opgave 2.11

Punkterne for en ellipse med centrum i $(0,0)$ er givet ved:

$y = \pm\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2},$

hvor $a$ er den halve længde af storaksen og $b$ er den halve længde af lilleaksen.

Opgavens ellipse har centrum i (12,4) og halv storakse $a=9$ samt halv lilleakse $b=3.8473$ .

Figure 4

a) Plot ellipsen.

b) Bestem omkredsen af ellipsen numerisk.

Figure 5

En ellipse med centrum i $(0,0)$ har brændpunkter i $(\pm c,0)$ , hvor $c$ opfylder: $b^2+c^2=a^2$ .

c) Bestem $c$ og plot de to brændpunkter. Bekræft med en numerisk beregning at summen af afstandene fra ellipsens toppunkt for enden af storaksen til de to brændpunkter er $2a$ .

Figure 6

d) Bekræft med en numerisk beregning for et vilkårligt, ikke-trivielt punkt på ellipsen at summen af afstanden til de to brændpunkter er $2a$ . Afbild endvidere, for det punkt du har valgt, de to afstande som rette linier.

e) Bestem med fsolve $x$ -værdien for punktet på ellipsen, som har dobbelt så langt til det højre brændpunkt som til det venstre. Når $x$ -værdien er fundet beregnes de to afstande så det bekræftes at de netop forholder sig 2:1.

Figure 7

Ellipsen skæres ud af et materiale, der vejer 0.6065 vægtenheder pr arealenhed. Siden ønskes formen ændret til et rektangel ved at skære yderligere materiale væk. Alt efter valget af rektanglets højde og bredde vil det se forskelligt ud, som vist med tre forskellige farver i figuren.

f) Bestem med fmin den størst mulige vægt det rektangulære legeme kan få. Afbild dette legeme inde i ellipsen. Hint: Benyt matplotlib.pyplot.fill.

Opgave 2.12

Betragt normalfordelingskurven

$\tag{Eq: 2} f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt(2\pi)}\exp\left( -\frac{x^2}{2\sigma^2} \right) ,$

hvor $\sigma$ er standardafvigelsen.

a) Beregn med quad from scipy.integrate integralet

$\tag{Eq: 3} \int_{-\sigma}^{\sigma} f(x)dx ,$

for $\sigma=$ 1, 2 og 3.

b) Gentag a) men med grænserne $\pm2\sigma$ , dvs beregn

$\tag{Eq: 4} \int_{-2\sigma}^{2\sigma} f(x)dx ,$

for $\sigma=$ 1, 2 og 3.

c) Brug fsolve fra scipy.optimize til at bestemme tallet $q$ der opfylder:

$\tag{Eq: 5} 0.999 = \int_{-q\sigma}^{q\sigma} f(x)dx .$

Med andre ord, hvor mange standardafvigelser væk fra middelværdien ligger den sidste promille af normalfordelte data.

Opgave 2.13

a) En funktion, $f$ , er givet ved:

$f(x)=8\exp\left(-\frac{(x-20)^2}{400}\right).$

Bestem med fsolve $x_1$ således at denne ligning bliver opfyldt:

$\int_0^{x_1}f(x)dx=244.3017.$

Figure 8

b) For samme $f$ som i spørgsmål a, bestem med fmin $x_0$ så arealet,

$\int_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(x)dx$

bliver maksimalt for $\Delta x=5.28052$ og beregn derefter arealet for det fundne $x_0$ .

Figure 9

Opgave 2.14

Et sæt $(x,y)$ datapunkter ser således ud:

(-4.288, -2.512), ( -4.061, -1.785), ( -3.347, -1.032), ( -3.292, -1.557), ( -2.678, -0.818),
( -0.883,  1.064), (  2.287,  3.007), (  2.876,  3.065), (  4.054,  4.674),(  4.532,  3.923)

a) Plot datapunkterne pænt:

Figure 10

Og bestem den rette linie,

$f_{a,b}(x) = ax + b,$

der approximerer datapunkterne bedst muligt i least squares fit-forstand.

Figure 11

b) Gentag spgm a, men tving den rette linie til at gå gennem $(0,1)$ .

Figure 12

Opgave 2.15

Denne opgave er inspireret af en opgave stillet i ugebladet Ingeniøren i vinteren 2021.

På jorden er indtegnet et koordinatsystem med en $x$ - og en $y$ -akse. En klods bliver lagt i punktet $(1,0)$ m og en person trækker klodsen ved hjælp af en $1$ m lang snor. Personen starter i punktet $(0,0)$ og stopper i punktet $(0,2)$ m. Her er en drone-optagelse af forløbet:

Figure 13

Matematikken i problem kan gennemskues hvis man tegner nedenstående trekant når klodsen befinder sig i punktet $\mathbf{A}=(x,y)$ og personen er nået til $\mathbf{B}=(0,y_\mathrm{person})$ :

Figure 14

Projektionen af $\mathbf{A}$ ind på $y$ -aksen giver punktet $\mathbf{C}=(0,y)$ .

Vi kan umiddelbart sige noget om to af de tre sider i trekanten: Afstanden fra $\mathbf{B}$ til $\mathbf{A}$ , $\left|\mathbf{BA}\right|$ , er $1$ , da det er længden af snoren, mens afstanden fra $\mathbf{C}$ til $\mathbf{A}$ , $\left|\mathbf{CA}\right|$ , er $x$ med de koordinater, der er indført. Dermed kan følgende opskrives for den tredje længde, $\left|\mathbf{CB}\right|$ :

$\left|\mathbf{CB}\right| = \sqrt{\left|\mathbf{BA}\right|^2 - \left|\mathbf{CA}\right|^2} = \sqrt{1-x^2}.$

Betragt nu hældningen af banen som klodsen gennemløber, når den befinder sig i $(x,y)$ :

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = -\frac{\left|\mathbf{CB}\right|}{\left|\mathbf{CA}\right|} = -\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$

(hvis du tænker over fortegnet: se på figuren, går man lidt i den positive $x$ -retning, altså lidt til højre fra klodsen, så falder kurven).

Med hældningen på plads kan denne differentialligning formuleres:

$\frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{1-x^2}}{x},$

som kan integreres til:

$y(x)=y_0 -\displaystyle\int_{x_0}^{x}\frac{\sqrt{1-x'^2}}{x'}dx'.$

Indsættes nu det kendte begyndelsespunkt, $(x_0,y_0)=(1,0)$ fås:

$y(x)=-\displaystyle\int_1^x\frac{\sqrt{1-x'^2}}{x'}dx'.$

a) Skriv en funktion, der givet $x$ returnerer $y$ .

b) Plot $y(x)$ for $0.2658<x<1$ m.

Antag nu at du gerne vil bestemme $x$ -koordinaten af klodsen når personen har en bestemt $y$ -koordinat, $y_\mathrm{person}$ . Det, der skal løses er følgende:

$\left|\mathbf{BA}\right|^2 = \left|\mathbf{CA}\right|^2 + \left|\mathbf{CB}\right|^2$

som kan skrives:

$1^2 = x^2 + \left[y_\mathrm{person} - y(x)\right]^2$

c) Skriv en funktion, der løser ligningen med hensyn til $x$ for et vilkårligt $y_\mathrm{person}$ . Kald funktionen for $y_\mathrm{person}=2$ m og tjek at du får løsningen $x=0.2658$ m.

d) Beregn længden af vejen som klodsen har tilbagelagt når personen er nået til $y_\mathrm{person}=2$ m.

e) Lav en animation af personen, der flytter sig med konstant hastighed for $0<y_\mathrm{person}<2$ m, mens klodsen flyttes med ved hjælp af snoren.

Hint: Da ligningsløsningen for de forskellige værdier af $y_\mathrm{person}$ kan kræve forskellige startværdier af $x$ kan det være en god idé at lave en liste af disse, én for hver $y_\mathrm{person}$ .

Opgave 2.16

Figure 15

Denne opgave omhandler det skrå kast i approximationen at der ingen luftmodstand er. Betragt et legeme, fx en bold, der kastes med begyndelseshastigheden $\mathbf{v}_0$ . Hvis $\mathbf{v}_0$ har længden $v_0$ og vinklen $\theta$ til vandret bliver $x$ - og $y$ -koordinaterne for bolden:

$\begin{array}{lcl} x&=&\displaystyle v_0 t\cos\theta\\\\ y&=&\displaystyle v_0 t\sin\theta -\frac{1}{2}g t^2 \end{array}$

hvor $t$ er tiden fra kastet og $g$ er tyngdeaccelerationen, $g=9.816$ m/s $^2$ .

Man kan regne ud hvor lang tid, der går inden bolden rammer jorden igen med denne formel:

$t_\mathrm{jord} = \displaystyle\frac{2 v_0 \sin\theta}{g}$

a) Bolden sendes afsted med $v_0=21.819$ m/s i en vinkel på $60^\circ$ til vandret. Lav en animation af boldens bevægelse til den rammer jorden igen. Hvor langt kommer den?

Figure 16

b) Begyndelseshastigheden sænkes til $11.693$ m/s og bolden sendes afsted igen (fra begyndelsespunktet). Beregn med quad hvad arealet under boldens bane bliver. Plot arealet og vurdér om dit resultat kan være rigtigt (tæl fx hele og halve kvadrater fra grid'et hvis areal du kender).

Hint: skriv $y$ som funktion af $x$ :

$y = x \tan\theta - \displaystyle \frac{1}{2}g \frac{x^2}{v_0^2 \cos^2\theta}$

og beregn arealet som integralet

$\int_0^{x(t_\mathrm{jord})}y(x)\>dx$

Figure 17

c) Lad nu begyndelseshastigheden være $v_0=20$ m/s og besvar ved brug af metoden i dette howto afsnit spørgsmålet: Hvad er længden af den vej bolden har gennemfløjet i de første $3.166$ s? Plot situationen, så du kan danne dig et indtryk af om længden du når frem til passer nogenlunde med hvad du kan vurdere ud figuren.

Hint: I dette tilfælde er det $t$ , der er den uafhændige variabel i parameterfremstillingen af koordinaterne. Beregn derfor de afledede af $x$ og $y$ med hensyn til $t$ og omskriv denne formel til at afspejle det.

Figure 18

d) Hvis nu vi havde været på månen ville tyngdeaccelerationen kun have været $1.62$ m/s $^2$ . Forestil dig at vi ville kunne kaste en bold lige op i "luften" på månen med 200 km/t. Hvor lang tid ville der gå inden bolden havde tilbagelagt en vejlængde på 1000.7 m, altså lige godt en km?

Denne opgave skal løses med metoden fra dette afsnit. Du skal således skrive en python funktion, der tager et argument, nemlig tiden fra kastets begyndelse. Funktionen skal returnere den tilbagelagte vejlængde frem til dette tidspunkt. Nu kan fsolve bruges til at finde tidspunktet til hvilket vejlængden er det efterspurgte. Da fsolve kun kan finde rødder må du formulere en ny funktion, der går gennm nul når vejlængden er det ønskede, jf metoden i dette eksempel, hvor $g(x_0)=0$ når $x_0$ opfylder den ønskede betingelse.