Differentialligningsopgaver

Opgave 3.1

a) Løs fra $t=0$ til $t=100$ differentialligningen

$\frac{dy}{dt}=\mathrm{e}^{-y/20}$

under betingelsen $y(t=0)=23.0505$ . Hvad bliver $y(100)$ ?

b) Løs fra $t=0$ til $t=1$ differentialligningen

$\frac{dy}{dt}=y^{5/4}$

under betingelsen $y(t=0)=5.8568$ . Hvad bliver $y(1)$ ?

c) Løs for "tidsrummet" $-10\le t\le 0$ differentialligningen

$\frac{dy}{dt}=-\frac{1}{3}y$

Således at $y(t=0)=1.49831$ . Hint: integrér bagud i tid! Hvad bliver $y(-10)$ ?

Opgave 3.2

a) Løs differentialligningen:

$\frac{dy}{dt}=y^2\sin(t)\mathrm{e}^{-t}$

under betingelsen $y(t=0)=1.908977$ .

Bestem $y(10)$ .

Hint: løs differentialligningen i intervallet: $0\le t\le 10$ og inspicér slutværdien af $y$ . Du skal nok sætte max_step til $10^{-3}$ for at få et nøjagtigt resultat.

b) Løs differentialligningen:

$\frac{dv}{dt}=7-\frac{1}{6}v$

under betingelsen $v(t=-100)=0$ .

Bestem $v(0)$ .

Opgave 3.3

a) Løs differentialligningen:

$\frac{dp}{dq}=-\frac{1}{5}q^2+\frac{1}{3}p$

under betingelsen $p(q=0)=10$ .

Bestem $p(16.3972)$ . Hint: løs differentialligningen i intervallet: $0\le q\le 16.3972$ og inspicér slutværdien af $p$ .

b) Løs for $-5.426\le x\le 10$ differentialligningen:

$\frac{dy}{dx}=-1-\frac{1}{10}xy$

idet det oplyses at $y(x=10)=\displaystyle\frac{1}{100}$ .

Bestem $y(-5.426)$ .

Opgave 3.4

Løs numerisk fra $q=3$ til $q=2$ differentialligningen

$3\frac{dx}{dq}+x=0$

under betingelsen $x(q=3)=30.094315$ og bestem dermed værdien af $x$ til $q=2$ .

Opgave 3.5

a) Løs anden ordensdifferentialligningen:

$\frac{d^2x}{dt^2}=-x$

med begyndelsesbetingelserne:

$x(t=0)=0\quad\mathrm{og}\quad\displaystyle\left.\frac{dx}{dt}\right|_{t=0}=1$

Du skal få et plot af $x(t)=\sin(t)$ og $\displaystyle\frac{dx}{dt}=\cos(t)$ .

b) Løs samme anden ordensdifferentialligning som i spørgsmål a, men benyt begyndelsesbetingelserne:

$x(t=0)=1\quad\mathrm{og}\quad\displaystyle\left.\frac{dx}{dt}\right|_{t=0}=0$

hvilken ny kombination af $\pm\sin(t)$ og $\pm\cos(t)$ får du?

Opgave 3.6

a) Løs anden ordensdifferentialligningen:

$\frac{d^2y}{dx^2}=6\frac{y}{x(x-4)}$

med begyndelsesbetingelserne:

$y(x=1)=\frac{21}{8}\quad\mathrm{og}\quad\displaystyle\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=1}=-\frac{7}{8}.$

Hvad bliver $y(x=6)$ ?

b) Løs for $0\le x\le 1.7001933$ anden ordensdifferentialligningen:

$\frac{d^2y}{dx^2}-6\frac{dy}{dx}+13y=0$

med begyndelsesbetingelserne:

$y(x=0)=0\quad\mathrm{og}\quad\displaystyle\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0}=-2.$

Plot $y(x)$ i intervallet. Hvad er slutværdien af $y$ ?

c) Betragt samme problem som i spørgsmål b, men løs i stedet for $x<0$ . Plot løsningerne for de to spørgsmål sammen.

Opgave 3.7

a) Løs numerisk fra $t=0$ til $t=4$ differentialligningen

$\frac{d^2y}{dt^2}-3\frac{dy}{dt}+12y=0$

under betingelserne $y(0)=0.0298$ og $\displaystyle\left.\frac{dy}{dt}\right|_{t=0}=-3$ .

b) Beregn værdien af $y$ til $t=4$ . Du skal nok sætte max_step til $10^{-3}$ for at få et nøjagtigt resultat.

Opgave 3.8

To forskellige ramper starter begge i $(x,y)=(0,h)$ , hvor $h=22.5$ og går gennem punktet $(x,y)=(x_1,0)$ , hvor $x_1=30$ . Den ene rampe er lineært faldende, mens den anden rampe er beskrevet ved en parabel, der endvidere går gennem punktet $(x_0,0)$ , $x_0=10$ .

a) Bestem (med papir og blyant) funktionsudtryk for højdeprofilen af de to ramper, hhv $y = f_\mathrm{lin}(x)$ for den lineære rampe og $y = f_\mathrm{par}(x)$ for den parabel-formede rampe. Plot de to funktioner med python-kommandoer.

Figure 1

Bevægelsen for et legeme på ramperne under indvirkning af tyngdekraften er beskrevet ved følgende differentialligning (se denne opgave for en udledning af ligningen):

$\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{\displaystyle -\frac{dy}{dx}}{1+\left(\displaystyle\frac{dy}{dx}\right)^2}\Bigl(g+\frac{d^2y}{dx^2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2\Bigr),$

hvor $g=9.8$ er tyngdeaccelerationen og hvor $y(x)$ er rampens højdeprofil som funktion af $x$ . For den lineære rampe er hældningen, $\displaystyle\frac{dy}{dx}$ , en konstant for alle værdier af $x$ mens den anden afledede, $\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2}$ , er nul. For den parabel-formede rampe er hældningen en funktion af $x$ og den anden afledede en konstant. Differentialligningen kan synes stor og kompliceret, men læg mærke til at når $y$ er en kendt funktion af $x$ , så er det eneste ubekendte, der er tilbage i ligningen, de to hhv 1.- og 2.-ordens tidsafledede af $x$ -positionen, her markeret med rødt:

${\color{red}\frac{d^2x}{dt^2}}=\frac{\displaystyle -\frac{dy}{dx}}{1+\left(\displaystyle\frac{dy}{dx}\right)^2}\Bigl(g+\frac{d^2y}{dx^2}\left({\color{red}\frac{dx}{dt}}\right)^2\Bigr).$

Differentialligningen har altså samme form som den, der løses i denne howto og kan dermed løses på samme måde.

b) Udled (med pen og papir, med WolframAlpha, med SymPy, eller noget helt fjerde) de omtalte udtryk for hældning og den anden afledede. Løs nu differentialligningen med solve_ivp for tider i intervallet $0\le t\le 4$ og plot $x(t)$ for hver af de to ramper så du kan afgøre for hvilken rampe, et legeme startet stilleliggende ud i $\bigl(0,f(0)\bigr)$ hurtigst muligt vil passere $x=x_1$ .

Figure 2

Når $x$ først er fundet som funktion af $t$ kan man efterfølgende bestemme $y(t)$ ud fra den geometriske betingelse at legemet befinder sig på rampen, dvs.

$y(t) = f\big(x(t)\big),$

$f(x)$ er $f_\mathrm{lin}(x)$ eller $f_\mathrm{par}(x)$ alt efter hvilken rampe, der er tale om.

c) Løs nu differentialligningen igen for hver af de to ramper. Sørg for at få de to løsninger til de samme ækvidistante tider. Udarbejd derefter en animation af den samtidige bevægelse af to legemer, der startes samtidigt på hver deres rampe.

Figure 3

d) Fokusér nu på den parabel-formede rampe og lad den være defineret for $0\le x\le b$ , hvor $b=40$ . Bestem et legemes bevægelse på rampen i tiden $0\le t\le 23$ og notér dig at den bliver oscillatorisk. Idet legemes masse sættes til $m=1/7$ skal du ud fra outputtet fra solve_ivp beregne og plotte den kinetiske og den potentielle energi af legemet som funktion af tiden. Læg mærke til at $\displaystyle\frac{dx}{dt}$ ikke er hastigheden $v$ af legemet. Det er kun $x$ -komposanten af legemets hastighed. Da legemet er tvunget til at bevæge sig ad rampen vil dets hastighedsvektor imidlertid altid pege langs med rampen, der har retningsvektoren:

$\hat{\mathbf{s}} = \frac{1}{\sqrt{1+\left(\displaystyle\frac{dy}{dx}\right)^2}}\left[\begin{array}{c}1\\ \displaystyle\frac{dy}{dx}\end{array}\right],$

hvorfor legemets hastighedsvektor kan skrives:

$\mathbf{v} = v\hat{\mathbf{s}}.$

Med den sædvanlige måde at skrive hastighedsvektoren på:

$\mathbf{v} = \left[\begin{array}{c}\displaystyle\frac{dx}{dt}\\ \\ \displaystyle\frac{dy}{dt}\end{array}\right]$

kan man ud fra $x$ -komposanterne udlede dette udtryk:

$v = \displaystyle\frac{dx}{dt}\sqrt{1+\left(\displaystyle\frac{dy}{dx}\right)^2}.$

Verificér at den mekaniske energi er bevaret. Bestem den maksimale kinetiske energi med np.max-kommandoen på listen af beregnede kinetiske energier.

Figure 4

e) Lav en animation af den oscillatoriske bevægelse.

Figure 5

Opgave 3.9

Denne opgave knytter sig til rampe-opgaven og handler om at udlede udtrykket for differentialligningen.

a) Start med at argumentere for at forholdet mellem den differentielle tilvækst i vejlængden langs rampen og den differentielle tilvækst i $x$ -koordinaten på rampen er:

$\displaystyle\frac{ds}{dx}= \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}$

b) Opskriv dernæst Newton II for et legeme på rampen:

$\begin{array}{rcl} m{\color{blue}\displaystyle\frac{d^2s}{dt^2}}&=&(0,-mg)\cdot \hat{\mathbf{s}}\\ \\ &=& -mg\frac{\displaystyle\frac{dy}{dx}}{\sqrt{\displaystyle 1+\left(\displaystyle\frac{dy}{dx}\right)^2}}. \end{array}$

du kan få mening i det ud fra denne figur:

Figure 6

c) Benyt denne kombination af kædereglen og produktreglen:

$\begin{array}{rcl} {\color{blue}\displaystyle\frac{d^2s}{dt^2}}&=&\displaystyle\frac{d}{dt}\Bigl\{\displaystyle\frac{ds}{dx}\displaystyle\frac{dx}{dt}\Bigr\}\\ \\ &=& {\color{green}\displaystyle\frac{d}{dt}\Bigl\{\displaystyle\frac{ds}{dx}\Bigr\}}\displaystyle\frac{dx}{dt} +\displaystyle\frac{ds}{dx}\displaystyle\frac{d}{dt}\Bigl\{\displaystyle\frac{dx}{dt}\Bigr\}\\ \\ &=& \big(\displaystyle\frac{dx}{dt}\big)^2 \frac{\displaystyle\frac{dy}{dx}}{\sqrt{\displaystyle 1+\left(\displaystyle\frac{dy}{dx}\right)^2}} \displaystyle\frac{d^2y}{dx^2} + \sqrt{\displaystyle 1+\left(\displaystyle\frac{dy}{dx}\right)^2}\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2} \end{array}$

hvor den grønne del er blevet omskrivet på følgende vis:

$\begin{array}{rcl} {\color{green}\displaystyle\frac{d}{dt}\Bigl\{\displaystyle\frac{ds}{dx}\Bigr\}} &=&\displaystyle\frac{dx}{dt}\displaystyle\frac{d}{dx}\Bigl\{\displaystyle\frac{ds}{dx}\Bigr\}\\ \\ &=&\displaystyle\frac{dx}{dt}\displaystyle\frac{d}{dx}\sqrt{1+\bigl(\displaystyle\frac{dy}{dx}\bigr)^2}\\ \\ &=&\displaystyle\frac{dx}{dt}\frac{1}{2\sqrt{1+\bigl(\displaystyle\frac{dy}{dx}\bigr)^2}}\cdot 2\displaystyle\frac{dy}{dx}\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2} \end{array}$

d) De to udtryk skrevet med blå kan nu sættes lig hinanden og du kan udlede differentialligningen.

Opgave 3.10

Okay, starter lige med en plotte-opgave. Måske der er et par ting du gerne vil kunne. Se i løsningsforslaget, hvis du har brug for inspiration.

Lav denne figur:

Figure 7

Opgave 3.11

Et objekt flyttes med konstant hastighed $v_0$ fra $(0,y_0)$ , til tiden $t=0$ på en sådan måde at disse koblede differentialligninger hele tiden er opfyldt:

$\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{dx}{dt}&=&\displaystyle\frac{\sqrt{y_0^2-y^2}}{y_0}v_0,\\ &&\\ \displaystyle\frac{dy}{dt}&=&-\displaystyle\frac{y}{y_0}v_0. \end{array}$

Løs differentialligningerne med solve_ivp for $y_0=2$ og $v_0=0.1$ og plot vejen objektet gennemløber frem til $t=40$ .

Markér objektets position til tidspunkterne $t=0$ , $10$ , $20$ , $30$ og $40$ .

Tegn for hver af de markerede positioner tangenten til kurven, der beskriver vejen. Lad tangenten gå fra kurven ned til $x$ -aksen. Beregn længden af de indtegnede liniestykker.

Hint: tangenten til kurven har hældningen,

$\displaystyle\frac{dy}{dx} = \displaystyle\frac{dy}{dt} / \displaystyle\frac{dx}{dt} = \displaystyle\frac{-y}{\sqrt{y_0^2-y^2}}$

Lad liniestykkerne have bredde $\Delta x$ og højde $\Delta y$ (begge regnet med fortegn). Det indses at alle de ønskede liniestykker har $\Delta y = -y$ , hvorved deres $\Delta x$ kan beregnes til:

$\begin{array}{rcl} \Delta y&=&\displaystyle\frac{dy}{dx}\Delta x\\ &\Downarrow&\\ -y&=&\displaystyle\frac{-y}{\sqrt{y_0^2-y^2}}\Delta x\\ &\Downarrow&\\ \Delta x&=&\sqrt{y_0^2-y^2} \end{array}$

Læg mærke til at de markerede position af objektet ligger ækvidistant langs vejen, samt at alle indtegnede tangent-liniestykker har længden $y_0$ :

Figure 8

Opgave 3.12

Gentag ovenstående opgave men med disse differentialligninger:

$\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{dx}{dt}&=&\displaystyle\frac{y_0^2-y^2}{y_0^2}v_p,\\ &&\\ \displaystyle\frac{dy}{dt}&=&-\displaystyle\frac{y\sqrt{y_0^2-y^2}}{y_0^2}v_p. \end{array}$

Nu er $v_p$ den konstante hastighed af punktet på $x$ -aksen, hvor tangenten rammer. Benyt $v_p=0.1$ .

Vigtigt hint: Da såvel $\displaystyle\frac{dx}{dt}$ som $\displaystyle\frac{dy}{dt}$ giver nul for begyndelsesbetingelsen skal man ændre denne en lille smule for at få integrationen med solve_ivp til at begynde. Benyt derfor $(0,2-10^{-6})$ som begyndelsesbetingelse.

Nu er de markerede positioner langs vejen ikke længere ækvidistante. Det er punkterne som tangenterne rammer på $x$ -aksen til gengæld og alle tangent-liniestykker er fortsat lige lange:

Figure 9

Opgave 3.13

Gentag atter ovenstående opgave men med denne vektorielle differentialligning:

$\frac{d}{dt}\mathbf{r} = v_0\>\mathbf{\hat{d}},$

hvor $\mathbf{\hat{d}}$ er en retningsvektor fra objektet frem mod et punkt på $x$ -aksen, der flytter sig således:

$\mathbf{r}_p = \left[\begin{array}{c}v_0\cdot t\\0\end{array}\right].$

Læg mærke til at objektet flytter sig med konstant hastighed (kurvelængden mellem de afsatte punkter langs vejen synes konstant), men at længden af de afsatte tangent-liniestykker bliver kortere:

Figure 10

Opgave 3.14

I denne opgave skal der løses vektorielle 2.-ordensdifferentialligninger. Der tages udgangspunkt i himmellegemer, der påvirker hinanden med gravitationelle kræfter,

$\mathbf{F}_i = \sum_{j\ne i} \frac{Gm_im_j}{||\mathbf{r}_j-\mathbf{r}_i||^3}(\mathbf{r}_j-\mathbf{r}_i),$

hvor $G$ er Gravitationskonstanten, som sættes til 1 i opgaven, $m_k$ er massen af $k$ 'te legeme og $\mathbf{r}_k$ er positionen af det $k$ 'te legeme. $\mathbf{F}_i$ er således kraften på det $i$ 'te legeme fra de øvrige legemer.

Vi benytter approximationen at en sol i $(x,y)=(0,0)$ er så tung at den ikke påvirkes af de øvrige himmellegemer. Approximationen er dårlig med de masser, der bruges i opgaven, men se bort fra det.

a) En sol i $(x,y)=(0,0)$ vejer 10 masse-enheder og ligger stille. En planet med 1 masse-enhed starter i positionen $(x,y)=(1,0)$ med begyndelseshastighed $\mathbf{v}=(0,2)$ (længde- og tidsenheder er underforståede i resten af opgaven). Løs med solve_ivp planetens bevægelse i nogle tidsenheder (i plottet nedenfor er det gjort i 0.8 tidsenheder). Animér planetens bane.

Figure 11

b) Gentag spørgsmål a, men indfør endnu en planet med masse 1. Lad den nye planet starte i $(x,y)=(-1,0)$ og lad dens begyndelseshastighed være $\mathbf{v}=(0,-2)$ . Løs med solve_ivp planeternes bevægelse i nogle tidsenheder (i plottet nedenfor er det gjort i 0.8 tidsenheder). Animér planeternes banebevægelse.

Figure 12

Opgave 3.15

Tre himmellegemer har samme masse, $m=1$ . De startes ud med følgende begyndelsesbetingelser:

$\begin{array}{rcl} \mathbf{r}_1=(1,-0.25)&\mathbf{v}_1=(0.41,0.41)\\ \mathbf{r}_2=(-1,0.25)&\mathbf{v}_2=(0.41,0.41)\\ \mathbf{r}_3=(0,0)&\mathbf{v}_3=(-0.82,-0.82) \end{array}$

i et univers, hvor gravitationskonstanten er $G=1$ .

a) Løs med solve_ivp de tre himmellegemers bevægelse for noget tid og udarbejd såvel et plot af deres baner samt en animation af disse.

Figure 13

b) Gentag spørgsmål a, men benyt disse start-betingelser:

$\begin{array}{rcl} \mathbf{r}_1=(0.9700436,-0.24308753)&\mathbf{v}_1=(0.466203685,0.43236573)\\ \mathbf{r}_2=-\mathbf{r}_1&\mathbf{v}_2=\mathbf{v}_1\\ \mathbf{r}_3=(0,0)&\mathbf{v}_3=-2\mathbf{v}_1 \end{array}$

Figure 14

Opgave 3.16

Et lod er ophængt i to fjedre:

Figure 15

Loddet er påvirket af kræfter fra fjedrene og af tyngdekraften. Betragt en enkelt fjeder og lad $\mathbf{r}$ være vektoren fra loddet til den fjerne ende af fjederen. Da er loddet påvirket af denne kraft fra fjederen,

$\mathbf{F}_{fj} = k\bigl(\left|\mathbf{r}\right|-l_0\bigr)\hat{\mathbf{r}},\quad\hat{\mathbf{r}}=\frac{\mathbf{r}}{\left|\mathbf{r}\right|}$

hvor $k$ er fjederens kraftkonstant og $l_0$ er fjederens ligevægtslængde. Tyngdekraften er

$\mathbf{F}_t = -mg\hat{\mathbf{y}}.$

hvor $m$ er loddets masse og $g$ er tyngdeaccelerationen. Lad $l_0=0.8$ , $k=2$ , $g=10$ og $m=0.05$ . Fjedrenes ophængspunkter og loddets startposition kan aflæses fra figuren.

a) Løs med solve_ivp loddets bevægelse under indvirkning af de tre kræfter i tiden $0\le t\le 4.44$ . Animér loddets bevægelse:

Figure 16

b) Tilføj en gnidningskraft, der er proportional med og modsat rettet hastighedsvektoren:

$\mathbf{F}_{gn}=-\gamma\mathbf{v},\quad\mathbf{v}=\frac{d}{dt}\mathbf{r}$

Lad $\gamma=0.05$ . Gentag løsningen af loddets bevægelsesligning og animér dets bevægelse.

Figure 17

Opgave 3.17

To lodder er ophængt i tre fjedre, er hægtet sammen via endnu en fjeder og er for det ene lods vedkommende forbundet til et roterende hjul med en femte fjeder som vist i denne figur:

Figure 18

Ophængningspunkter med mere kan aflæses direkte af figuren. Lodderne har masse $m=0.05$ , de sorte fjedre har kraftkonstant $k=2$ mens den grønne fjeder har kraftkonstant $k_g=0.2$ . Alle fjedres ligevægtslængder er $l_0=0.8$ . Tyngdeaccellerationen er $g=10$ . Lodderne bevæger sig under indvirkning af fjederkræfter og tyngdekraften, samt af en gnidningskraft, der for hvert lod er proportional med og modsatrettet dets hastighed:

$\mathbf{F}_{gn}=-\gamma\mathbf{v},\quad\mathbf{v}=\frac{d}{dt}\mathbf{r},$

hvor $\gamma=0.02$ .

Den grønne fjeders fastgørelsespunkt på hjulet betegnes $\mathbf{r}_q$ og bevæges efter følgende forskrift:

$\mathbf{r}_q = \left[ \begin{array}{c} x_0 + A\cos(\omega t)\\ y_0 + A\sin(\omega t) \end{array} \right]$

hvor $\omega$ er en vinkelfrekvens mellem $0.1$ og $10$ . $A$ , $x_0$ og $y_0$ kan aflæses af figuren.

Det viste system udgør et tvunget pendul (eng: "a forced oscillator") og udviser ekstraordinære store udsving når det drives ved sin egenfrekvens. Løs med solve_ivp bevægelsesligningerne for de to lodder og plot variansen af $x$ -koordinaten af det venstre lod som funktion af $\omega$ . Aflæs på plottet værdien af egenfrekvensen (inden for $\pm 0.1$ ). Kør systemet ved denne frekvens og foretag en animation af resultatet.

Figure 19

Opgave 3.18

Løs differentialligningen:

$\frac{dy}{dt}=y^2\sin(t)\mathrm{e}^{-t}$

med startbetingelsen $y(t=0)=1.908977$ .

Indfør en hændelsesfunktion der bestemmer tidspunktet for hvornår betingelsen:

$t\cdot y=\alpha,\quad \alpha=98.9798$

er opfyldt.

Stop løsningen af differentialligningen når hændelsen indtræffer.

Udskriv værdien af $y$ når hændelsen er indtruffet.

Hint: Hændelsesfunktionen skal skrives med def for at du kan sætte .terminal-attributten. Den kunne fx være:

$f(t, y) = t\cdot y -\alpha$

Opgave 3.19

Løs differentialligningen:

$\frac{dy}{dt}=\frac{1}{5}y^2\sin(t)$

med startbetingelsen $y(t=0)=2$ .

Indfør en hændelsesfunktion, der går gennem nul når:

$t + y = 10$

Plot en linie gennem alle $(t,y)$ -punkter, hvor hændelsen indtræffer.

Figure 20

Gentag spørgsmål a), men denne gang med to hændelsesfunktioner, der fanger hhv:

$t + y = 10$

$t + y = 12$

Figure 21

Opgave 3.20

Løs som i en tidligere opgave anden ordensdifferentialligningen:

$\frac{d^2x}{dt^2}=-x$

med begyndelsesbetingelserne:

$x(t=0)=0\quad\mathrm{og}\quad\displaystyle\left.\frac{dx}{dt}\right|_{t=0}=1$

Tilføj to eventsfunktioner. Den ene skal trigges når $x$ går gennem et ekstremum, hvad enten det er et maksimum eller et minimum. Den anden skal kun trigges når $x$ går gennem et maksimum. Plot de fundne ekstrema med et symbol og plot de fundne maksima med et andet.

Hint: Husk at du har $\displaystyle\frac{dx}{dt}$ til rådighed mens du løser anden ordensdifferentialligningen og benyt at den går gennem nul når $x$ har ekstreme værdier.

Figure 22

Opgave 3.21

Gentag spørgsmål a i opgaven med himmellegemer men tilføj en events-funktion, der beregner prik-produktet mellem positions- og hastighedsvektoren for planeten:

$val = \mathbf{r}\cdot\mathbf{v}$

Når $val$ går gennem nul står de to vektorer vinkelret på hinanden og afstanden mellem planet og sol går gennem enten et minimum eller et maximum. Skriv events-funktionen så solve_ivp stopper ved hhv. minimum (illustreret) eller maksimum.

Figure 23